10  Opakovanie

Prebrali sme tieto témy:

Zaviedli sme si nasledovné pojmy, ktorých definíciu musíme poznať. Nové pojmy boli vždy označované hrubým písmom:

Taktiež musíme poznať vlastnosti týchto objektov a aké sú medzi nimi vzťahy. Je dôležité poznať tieto vzťahy:

Hovorili sme tiež o týchto vetách/tvrdeniach:

Dosť času sme strávili aj spoznávaním rôznych pravdepodobnostných distribúcií, či už diskrétne alebo spojite rozdelených:

Ambíciou tohoto kurzu bolo zjednodušiť prechody medzi rôznymi spôsobmi popisu typu náhodnosti. Ak máme kompletnú informáciu o pravdepodobnostnom správaní, napríklad formou kumulatívnej distribučnej funkcie, musíme vedieť odvodiť všetko ostatné. Napríklad funkciu hustoty alebo jej charakteristiky ako napríklad strednú hodnotu, varianciu, smerodajnú odchýlku alebo medián. Familiarita a plynulosť prechodu je to, o čo sme sa snažili. Znalosť tohoto jazyka je nutnou podmienkou úspešného pokračovania v štúdiu pravdepodobnosti a štatistiky, ako aj praktickej dátovej analýzy.

Cvičné otázky

  • Zadefinujte pravdepodobnostný priestor a náhodnú premennú, ktoré budú zodpovedať súčtu počtu bodiek na dvoch nezávisle hodených kociek.
  • Dokážte, že so spojitej aditivity pravdepodobnosti vyplýva aj konečná aditivita.
  • Aká je stredná hodnota náhodnej premennej ktorá nadobúda hodnoty \(1,2,3,4,5\) s pravdepodobnosťami \(\frac{c}{1}, \frac{c}{2},\frac{c}{3},\frac{c}{4},\frac{c}{5},\) kde \(c\) je konštanta.
  • Načrtnite kumulatívnu distribučnú funkciu náhodnej premennej, ktorá označuje počet bodiek, ktorý padne na férovej kocke.
  • Vymyslite pravdepodobnostný priestor a dve funkcie \(\Omega \rightarrow \mathbb{R},\) také, že jedna z nich bude náhodná premenná ale druhá nebude.
  • Majme diagnostický test so špecificitou 90% a senzitivitou 99%. Vypočítajte pravdepodobnosť choroby v prípade, že test je pozitívny.
  • Majme dve náhodné premenné \(X\) a \(Y\) také, že \(P(X=0,Y=0)=0.06\), \(P(X=1,Y=0)=0.24\), \(P(X=0,Y=1)=0.14\), \(P(X=1,Y=1)=0.56.\) Vypočítajte \(\text{Cov}[X,Y].\) Sú náhodné premenné \(X\) a \(Y\) nezávislé?
  • Uvažujme náhodnú premennú \(Y\) o ktorej vieme, že \[\begin{eqnarray*} p_Y(1) &=& 0.2,\\ p_Y(2) &=& 0.3,\\ p_Y(3) &=& 0.5.\\ \end{eqnarray*}\] Vypočítajte \(\text{E}[Y], \text{Var}[Y], \text{sd}[Y].\)
  • Majme náhodnú premennú s nasledovnou funkciu hustoty pravdepodobnosti: \[\begin{equation*} f_X(x)= \begin{cases} c(x - \frac{x^3}{4}), & \text{ak}\ x \in (0,2), \\ 0, & \text{inak}. \end{cases} \end{equation*}\] Vypočítajte hodnotu konštanty \(c.\) Nájdite a načrtnite jej kumulatívnu distribučnú funkciu. Vypočítajte jej strednú hodnotu, varianciu, medián a \(P(|X-1| \leq 0.5)\)
  • Majme náhodné premenné \(X,Y\) s nasledovnou združenou funkciou hustoty \[\begin{equation*} f_{XY}(x,y)= \begin{cases} cy^3, & \text{ak}\ x \in [0,3], \ y \in [0,1],\\ 0, & \text{inak}. \end{cases} \end{equation*}\] Vypočítajte hodnotu konštanty \(c,\) \(P(X+Y > 2),\) \(P(X > Y),\) \(P(X = 3Y),\) \(\text{E}[Y],\) \(\text{Cov}[X,Y].\)
  • Aké je pravdepodobnostné rozdelenie počtu uhádnutých otázok na ABC teste z celkového počtu 10 otázok, ak vieme, že z prvých troch otázok otázok bola správne zodpovedaná práve jedna otázka?
  • Nech je pravdepodobnosť nárazu asteroidu na zem \(1/10000\) za rok. Aká je pravdepodobnosť, že za 200 rokov narazí asteroid práve jedenkrát?
  • Ktorým pravdepodobnostným rozdelením by ste modelovali: počet dopravných nehôd? Dobu kým nastavne ďalšia dopravná nehoda? Počet neúspešných žiadostí o grant, kým sa Vám to nepodarí? Výšku afrických slonov? Chybu merania? Priemer z veľkého množstva nezávislých náhodných premenných?
  • Napíšte názov pravdepodobnostného rozdelenie, pre ktoré nemôžeme použiť Zákon veľkých čísel.
  • Skonštruujte dve nekorelované náhodné premenné, ktoré nie sú nezávislé.
  • Majme postupnosť \(X_1, X_2,\dots\) náhodných premenných so strednou hodnotou \(3\) a varianciou \(1\). Aspoň akú veľkú musíme nastaviť hodnotu \(n\) tak, aby platilo, že \[P(3 < \bar{X}_n < 4) \geq 0.8.\] Porovnajte výsledky založené na základe Čebyševovej nerovnosti a Centrálnej limitnej vety.
  • Zo skúseností vieme, že na matematický ples sa lístky veľmi rýchlo vypredajú: každý človek v rade si kúpi v priemere 2.3 lístkov zo smerodajnou odchýlkou 2. Máme 250 voľných miest a v rade čaká 100 ľudí. Aproximujte pravdepodobosť, že sa každému ujde toľko lístkov, koľko chce. Explicitne pomenujte zjednodušujúce predpoklady, ktoré urobíte.
  • Majme 100 mužov na palube lietadla, hmotnosť každého z nich má strednú hodnotu 80 a smerodajnú odchýlku 10. Pomocou CLV aproximujte pravdepodobnosť, že ich celková hmotnosť nepresiahne 9000kg. Uvažujte, že ich váhy sú nezávislé.

 

Spätná väzba

Budem veľmi rád za akúkoľvek spätnú väzbu. Preklepy, logické chyby, nejasnosti. Ďakujem!

 

Pokračovanie

Na tento kurz nadväzuje praktickejší kurz vo výpočtovom prostredí R. Tento nadväzujúci kurz je na https://lukaslaffers.github.io/pas2/