7  Súvis medzi náhodnými premennými

Potrebujeme matematický aparát na to, aby sme vedeli pracovať s viacerými náhodnými premennými naraz. Potrebujeme vedieť, ako rôzne náhodné premenné spolu súvisia. Začneme s dvomi náhodnými premennými \(X\) a \(Y\). Dve náhodné premenné dokopy tvoria dvojrozmerný náhodný vektor \((X,Y)^T\). Skúmať súvis medzi náhodnými premennými sa preto nedá bez toho, že by sme vedeli ako udalosti nastávajú spolu.

Združená kumulatívna distribučná funkcia \(F_{XY}: \mathbb{R}^2 \rightarrow [0,1]\) náhodného vektora \((X,Y)^T\) je definovaná nasledovne:

\[F_{XY}(s,t) = P(X \leq s \cap Y \leq t) = P(X \leq s, Y \leq t).\] Ide len o dvojrozmerný ekvivalent toho, čo sme už videli predtým.

Diskrétne náhodné premenné

Ak sú elementy náhodného vektora diskrétne rozdelené náhodné premenné, potom alternatívne môžeme na popis náhodnosti použiť združenú pravdepodobnostnú funkciu

\[p_{XY}(x,y) = P(X=x \cap Y=y) = P(X=x, Y=y).\]

Aby táto bola korektná, tak musí platiť

• \(\forall x \in \mathcal{S}_X, y \in \mathcal{S}_Y: p_{XY}(x,y) \geq 0,\)
• \(\sum_{x \in \mathcal{S}_X}\sum_{y \in \mathcal{S}_Y}p_{XY}(x,y)=1,\)
• \(\forall x \in \mathcal{S}_X: \sum_{y \in \mathcal{S}_Y} p_{XY}(x,y)= p_X(x),\)
• \(\forall y \in \mathcal{S}_Y: \sum_{x \in \mathcal{S}_X} p_{XY}(x,y)= p_Y(y).\)

Spojité náhodné premenné

Ak sú elementy náhodného vektora spojite rozdelené, tak potrebujeme združenú funkciu hustoty \(f_{XY}(x,y): \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^{+},\) ktorá spĺňa nasledovnú vlastnosť

\[P\left(X \in [a,b] \cap Y \in [c,d] \right) = P\left(X \in [a,b], Y \in [c,d] \right) = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f_{XY}(x,y) dy dx.\]

Funkcia hustoty musí spĺňať nasledovné vlastnosti

• \(\forall x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}: f_{XY}(x,y) \geq 0,\)
• \(\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x,y) dx dy =1,\)
• \(\forall x \in \mathbb{R}: \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x,y) dy= f_X(x),\)
• \(\forall y \in \mathbb{R}: \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x,y) dx= f_Y(y).\)

Vzťah medzi \(f_{XY}\) a \(F_{XY}\) je nasledovný:

\[F_{XY}(s,t) = \int_{-\infty}^{s} \int_{-\infty}^{t} f_{XY}(x,y) dy dx\] a

\[ f_{XY}(x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y }F_{XY}(x,y).\]

Tu je vizualizovanú jeden konkrétny príklad pre \(f_{XY}\) a \(F_{XY}\)

Tu je vizualizovaná \(p_{XY}\) a \(F_{XY}\) pre diskrétne rozdelený náhodný vektor \((X,Y)\), kde \(X\) a \(Y\) sú čísla, ktoré padnú na dvoch nezávislých kockách.

7.1 Nezávislé náhodné premenné

Hovoríme, že dve náhodné premenné \(X\) a \(Y\) sú nezávislé ak

\[\forall x \in \mathcal{S}_X, y \in \mathcal{S}_Y: p_{XY}(x,y) = p_{X}(x) \cdot p_Y(y),\] ak sú diskrétne rozdelené a

\[\forall x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}: f_{XY}(x,y) = f_{X}(x) \cdot f_Y(y),\] ak sú spojite rozdelené. Informácia o pravdepodobnostných správaniach \(X\) a \(Y\) je preto dostatočná na to, aby sme vedeli, ako sa budú správať spolu.

Alternatívna definícia nezávislosti je

\[\forall B_1, B_2 \subseteq \mathbb{R}: P(X \in B_1, Y \in B_2) = P(X \in B_1) \cdot P(Y \in B_2).\]¹

alebo, taktiež ekvivalentne

\[\forall s,t \in \mathbb{R}: F_{XY}(s,t) = F_{X}(s) \cdot F_{Y}(t).\] Poľahky si všimneme, že voľbou \(B_1 = (-\infty,s]\) a \(B_2 = (-\infty,t]\) dostávame vzťah s predošlou definíciou.

Pre nezávislé náhodné premenné platí, že ak \(X\) a \(Y\) sú nezávislé potom sú aj \(h_1(X)\) a \(h_2(Y)\) sú nezávislé náhodné premenné, kde \(h_1\) a \(h_2\) sú nejaké transformácie.² Napríklad, \(X^2\) a \(Y\), kde \(h_1(x)=x^2\) a \(h_2(y)=y\).

Príklad 7.1 Majme nasledovnú združenú hustotu pravdepodobnosti pre náhodný vektor \((X,Y).\)

\[\begin{equation*} f_{XY}(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{4}, & \text{ak}\ x,y \in [0,2], \\ 0, & \text{inak} \end{cases} \end{equation*}\]

Sú \(X\) a \(Y\) nezávislé náhodné premenné?

7.2 Miera závislosti

Zatiaľčo \(p_{XY}, f_{XY}, F_{XY}\) popisujú súvis náhodných premenných úplne, niekedy máme potrebu charakterizovať súvis jediným číslom. Podobne ako sme pomocou strednej hodnoty vyjadrovali centrum distribúcie a pomocou variancie to, ako veľmi sa náhodná premenná menila.

Kovarianciou dvoch náhodných premenných nazývame

\[\text{Cov}[X,Y] \equiv \text{E}[(X-\text{E}[X])(Y-\text{E}[Y])].\]

Pre kovarianciu platí \(\text{Cov}[X,Y] = \text{E}[XY] - \text{E}[X]\text{E}[Y]\) a \(\text{Cov}[X,X] = \text{Var}[X].\)

Pre nezávislé náhodné premenné platí \(\text{E}[XY] =\text{E}[X]\text{E}[Y]\) a preto \(\text{Cov}[X,Y]=0\).

Pre varianciu súčtu dvoch náhodných premenných platí: \[\text{Var}[X+Y] = \text{Var}[X] + \text{Var}[Y] + 2\text{Cov}[X,Y].\] Vysvetlenie je tu a je založené na linearite strednej hodnoty: \[ \begin{split} \text{Var}[X+Y] &= \text{E}\left[ ((X+Y)-\text{E}[X+Y])^2 \right] \\ &= \text{E}\left[ ([X-\text{E}[X]) + (Y-\text{E}[Y]])^2 \right] \\ &= \text{E}\left[ (X-\text{E}[X])^2 + (Y-\text{E}[Y])^2 + 2 \, (X-\text{E}[X]) (Y-\text{E}[Y]) \right] \\ &= \text{E}\left[ (X-\text{E}[X])^2 \right] + \text{E}\left[ (Y-\text{E}[Y])^2 \right] + \text{E}\left[ 2 \, (X-\text{E}[X]) (Y-\text{E}[Y]) \right] \\ &= \text{Var}[X] + \text{Var}[Y] + 2 \, \text{Cov}[X,Y] \; . \\ \end{split} \]

Takže pre nezávislé náhodné premenné platí \[\text{Var}[X+Y] = \text{Var}[X] + \text{Var}[Y] + 2\underbrace{\text{Cov}[X,Y]}_{=0} = \text{Var}[X] + \text{Var}[Y].\]

Koreláciou dvoch náhodných premenných nazývame

\[\text{Corr}[X,Y] \equiv \frac{\text{Cov}[X,Y]}{\text{sd}[X] \cdot \text{sd}[Y] } = \frac{ \text{E}[(X-\text{E}[X])(Y-\text{E}[Y])]}{\sqrt{\text{E}[(X-\text{E}[X])^2]}\cdot\sqrt{\text{E}[(Y-\text{E}[Y])^2]}}.\]

Pre koreláciu platí:

• \(-1 \leq \text{Corr}[X,Y] \leq 1\), je bezrozmerná, t.j. nemá žiadne jednotky,
• \(\text{Corr}[X,Y] = \text{Corr}[Y,X]\) takže korelácia je symetrická,
• \(\text{Corr}[X,Y] = \pm 1 \implies \exists a,b \in \mathbf{R}: Y = aX+b\), nadobúda hodnoty \(\pm 1\) práve vtedy, keď je jedna náhodná premenná lineárnou funkciou druhej,
  
• \(X\) a \(Y\) sú nezávislé \(\implies \text{E}[XY] = \text{E}[X]\text{E}[Y] \implies \text{Cov}[X,Y]=0 \implies \text{Corr}[X,Y]=0\)

Skutočnosť, že súvis dvoch náhodných premenných vyjadríme jediným číslom, so sebou nesie aj náklady. Kompaktnejší popis musí nutne nejakú informáciu vynechať, čo môže, ale nemusí byť problematické. Nasledujúci obrázok demonštruje realizácie 12 rôznych dvojích náhodných premenných \((X,Y)\), ktoré majú rovnaké \(\text{E}[X],\text{E}[Y],\text{Var}[X],\text{Var}[Y],\text{Corr}[X,Y].\) (Zdroj: https://cran.r-project.org/web/packages/datasauRus/vignettes/Datasaurus.html). V týchto prípadoch sú závislosti medzi týmito premennými veľmi veľmi rôzne. Pozerať sa len na sumárne charakteristiky je preto zavádzajúce.

Korelácia je miera lineárnej závislosti. Z toho, že \(\text{Corr}[X,Y]=0\), nevyplýva, že \(X\) a \(Y\) sú nezávislé. A to jednoducho preto, že medzi nimi môže byť aj iná ako lineárna závislosť, ako demonštruje nasledovný príklad.

Príklad 7.2 Majme \(X \sim \text{Unif}[-1,1]\) a \(Y = X^2.\) Tomuto zodpovedajú nasledovné funkcie hustoty

\[\begin{equation*} f_X(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}, & \text{ak}\ x \in [-1,1], \\ 0, & \text{inak} \end{cases} \end{equation*}\]

a

\[\begin{equation*} f_Y(y)= \begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{y}}, & \text{ak}\ y \in [0,1], \\ 0, & \text{inak}. \end{cases} \end{equation*}\]

Združená hustota \(f_{XY}\) je \(0\) všade tam, kde \(Y>X\), ale \(f_X \times f_Y\) tam nie je nutne \(0\), preto \(X\) a \(Y\) nie sú nezávislé. Zároveň však platí (ukážte prečo) \(\text{E}[X] = 0,\text{E}[Y] = \frac{1}{3}\) a \(\text{Cov[X,Y]} = \text{E}[(X-\text{E}[X])(Y-\text{E}[Y])] = \text{E}\left[\left(X-0\right)\left(X^2-\frac{1}{3}\right)\right] = 0.\)

Teda \(X\) a \(Y\) sú závislé (však \(Y\) je priamo funkciou \(X\)!), ale nekorelované (teda lineárne nezávislé).

Príklad 7.3 Nech \(X \sim N(0,1)\) a nech

\[\begin{equation*} Y= \begin{cases} X, & \text{ak}\ |X| \leq c, \\ -X, & \text{inak}, \end{cases} \end{equation*}\]

Pre hodnotu \(c\) veľmi malú je \(\text{Corr}[X,Y] \approx -1\), naopak, pre \(c\) veľmi veľké je to \(\text{Corr}[X,Y] \approx 1.\) Nakoľko sa táto korelácia spojite mení s \(c\), podľa Vety o strednej hodnote musí existovať hodnota \(c\) taká, že \(\text{Corr}[X,Y]=0.\) Na druhej strane, \(X\) a \(Y\) nemôžu byť nezávislé, nakoľko \(Y\) je deterministickou funkciou \(X.\)

Takto vyzerá realizácia 100 náhodných vektorov \((X,Y)\) s rôznymi koreláciami.

Korelácia hovorí o asociácii, ale pozor, nie o kauzalite. Skutočnosť, že hodnoty \(X\) a \(Y\) nejakým spôsobom nastávajú naraz neznamená, že \(X\) spôsobuje \(Y\) alebo naopak. Napríklad predaje zmrzliny (\(X\)) sú korelované s napadnutiami žralakom (\(Y\)). Neznamená to ale, že tieto premenné spolu kauzálne súvisia. Ľudia skrátka jedia zmrzlinu ako aj surfujú viacej vtedy, keď je teplo.

Teraz nejaký príklad na počítanie:

Príklad 7.4 Majme \(X,Y\) pre ktoré je \(p_{XY}\) vyjadrená nasledovnou tabuľkou.

Pravdedpodobnostná funkcia
	Y=1	Y=2	Y=3	Y=4
X=1	0.1	0	0.1	0
X=2	0.3	0	0.1	0.2
X=3	0	0.2	0	0

Vypočítajte \(\text{Corr}[X,Y].\)

\[\begin{eqnarray*} \text{E}[X] &=& 1 \cdot (0.1+0+ 0.1+0) + 2 \cdot (0.3+0+0.1+0.2)+ \\ && 3 \cdot (0 + 0.2 + 0 + 0) = 2, \\ \text{E}[X^2] &=& 1^2 \cdot (0.1+0+ 0.1+0) + 2^2 \cdot (0.3+0+0.1+0.2)+ \\ && 3^2 \cdot (0 + 0.2 + 0 + 0) = 4.4, \\ \text{Var}[X] &=& \text{E}[X^2] - (\text{E}[X])^2 = 4.4-4 =0.4,\\ \text{sd}[X] &=&\sqrt{\text{Var}[X]} \approx 0.632,\\ \text{E}[Y] &=& 1 \cdot(0.1+0.3+0) + 2 \cdot(0+0+0.2) +\\ && 3 \cdot(0.1+0.1+0) + 4 \cdot(0+0.2+0) = 2.2,\\ \text{E}[Y^2] &=& 1^2 \cdot(0.1+0.3+0) + 2^2 \cdot(0+0+0.2) +\\ && 3^2 \cdot(0.1+0.1+0) + 4^2 \cdot(0+0.2+0) = 6.2,\\ \text{Var}[Y] &=& \text{E}[Y^2] - (\text{E}[Y])^2 = 6.2-4.84 = 1.36,\\ \text{sd}[Y] &=&\sqrt{\text{Var}[Y]} \approx 1.166,\\ \text{E}[XY] &=& 1\cdot 1 \cdot 0.1 + 1 \cdot 2 \cdot 0 + 1 \cdot 3 \cdot 0.1 + 1 \cdot 4 \cdot 0 + \\ && 2\cdot 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \cdot 0.1 + 2 \cdot 4 \cdot 0.2 + \\ && 3\cdot 1 \cdot 0 + 3 \cdot 2 \cdot 0.2 + 3 \cdot 3 \cdot 0 + 3 \cdot 4 \cdot 0 = 4.4, \\ \text{Cov}[X,Y] &=& \text{E}[XY] - \text{E}[X]\text{E}[Y] = 4.4 - 2 \cdot 2.2 = 0,\\ \text{Corr}[X,Y] &=& 0. \end{eqnarray*}\]

Príklad 7.5 Uvažujme náhodný vektor \((X, Y)\), ktorý je rovnomerne rozdelený na trojuholníku

\[ T = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le y \le x \le 1 \right\} \]

Ide o dolný trojuholník pod uhlopriečkou danou vzťahom \(y = x\) v jednotkovom štvorci.

Obsah trojuholníka je daný integrovaním jednotky cez relevantnú oblasť:

\[ \text{Obsah}(T) = \int_0^1 \int_0^x 1 \, dy\, dx = \int_0^1 x\,dx = \frac{1}{2}. \] Alternatívne (vymenením poradia integrovania): \[ \text{Obsah}(T) = \int_0^1 \int_y^1 1 \, dx\, dy = \int_0^1 (1-y)\,dy = \left[ y - \frac{y^2}{2}\right]_0^1 =\frac{1}{2}. \]

Preto spoločná hustota je:

\[ f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} 2 & \text{ak } 0 \le y \le x \le 1 \\ 0 & \text{inak} \end{cases} \]

\[ f_X(x) = \int_0^x f_{X,Y}(x, y)\,dy = \int_0^x 2\,dy = 2x,\quad x \in [0, 1] \]

\[ f_Y(y) = \int_y^1 f_{X,Y}(x, y)\,dx = \int_y^1 2\,dx = 2(1 - y),\quad y \in [0, 1] \]

Ak by \(X\) a \(Y\) boli nezávislé, platilo by:

\[ f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) \]

Skúsme overiť pre \(x = 0{,}6\), \(y = 0{,}4\):

\[ \begin{align*} f_{X,Y}(0{,}6, 0{,}4) &= 2 \\ f_X(0{,}6) &= 2 \cdot 0{,}6 = 1{,}2 \\ f_Y(0{,}4) &= 2 \cdot (1 - 0{,}4) = 1{,}2 \\ f_X(0{,}6) \cdot f_Y(0{,}4) &= 1{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44 \ne 2 \end{align*} \]

Napriek tomu, že spoločné rozdelenie je rovnomerné na platnej oblasti, premenné \(X\) a \(Y\) nie sú nezávislé, pretože hodnota jednej obmedzuje rozsah druhej.

7.3 Vizualizácie

Nasledujúce animácie vám môžu pomôcť intuitívne uchopiť tieto nové objekty.

Najprv si ukážeme hustotu združene normálneho rozdelenia

\[ f_{XY}(x,y) = \frac{1}{2\pi \sqrt{|\mathbf{\Sigma}|}} \exp\left[ -\frac{1}{2} \left(\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \mu_X\\ \mu_Y \end{pmatrix}\right)^\top \mathbf{\Sigma}^{-1} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \mu_X\\ \mu_Y \end{pmatrix} \right] \]

kde:

• \(\begin{bmatrix} {\color{blue}x} \\ {\color{redy} \end{bmatrix}\) je dvojrozmerný vektor,
• \(\mathbf{\mu} = \begin{bmatrix} {\color{blue}\mu_X} \\ {\color{red}\mu_Y} \end{bmatrix}\) je vektor stredných hodnôt,
• \(\mathbf{\Sigma} = \begin{bmatrix} {\color{blue}\sigma_X}^2 & \rho{\color{blue}\sigma_X}{\color{red}\sigma_Y} \\ \rho{\color{blue}\sigma_X}{\color{red}\sigma_Y} & {\color{red}\sigma_Y}^2 \end{bmatrix}\) je kovariančná matica,
• \(|\mathbf{\Sigma}|\) je determinant kovariančnej matice.

Nižšie je táto hustota pre \({\color{blue}\mu_X = 0},{\color{red}\mu_Y = 0},{\color{blue}\sigma_X = 0.5}\) a \({\color{red}\sigma_Y = 1}\): \[\mathbf{\mu} = \begin{bmatrix} {\color{blue}0} \\ {\color{red}0} \end{bmatrix} \ \ \ \ \text{a} \ \ \ \ \mathbf{\Sigma} = \begin{bmatrix} {\color{blue}0.5}^2 & 0.3 \cdot {\color{blue}0.5} \cdot {\color{red}1} \\ 0.3 \cdot {\color{blue}0.5} \cdot {\color{red}1} & {\color{red}1}^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.25 & 0.15 \\ 0.15 & 1 \end{bmatrix},\] teda korelácia je \(0.3\). Vyššie hodnoty prvej koordináty sú asociované s (mierne) vyššími hodnotami druhej koordináty. Modrou farbou je označená náhodná premenná \(X\), ktorá má pravdepodobnostné rozdelenie \({\color{blue}X \sim N(0,0.5^2)}\) (a teda nižšou varianciou ako \(Y\)). Červenou farbou je označená náhodná premenná \(Y,\) ktorej rozdelenie je štandardné normované normálne rozdelenie \({\color{red}Y \sim N(0,1)}.\)

Kumulatívna distribučná funkcia je len dvojitým integrálom cez horné medze.

Pre rôzne korelácie majú hustoty (teda “kopčeky”) rôzne tvary, napriek tomu, že marginálne distribúcie sú rovnaké.

Pre dvojrozmerné rovnomerné (uniformné) rozdelenie je funkcia hustoty nasledovná

\[f_{XY}(x,y) = \begin{cases} 1 & \text{ak } x \in [0,1], y \in [0,1] \\ 0 & \text{inak } \end{cases}\]

a vyzerá takto:

Kumulatívna distribučná funkcia má takýto tvar:

\[ F_{XY}(s, t) = \int_{-\infty}^{s} \int_{-\infty}^{t} f_{XY}(x,y) dy dx = \begin{cases} 0 & \text{ak } s < 0 \text{ alebo } t < 0 \\ xy & \text{ak } 0 \leq s \leq 1,\, 0 \leq t \leq 1 \\ 1 & \text{ak } s > 1 \text{ a } t > 1 \\ y & \text{ak } 0 \leq t \leq 1 \text{ a } s > 1 \\ x & \text{ak } 0 \leq s \leq 1 \text{ a } t > 1 \end{cases} \] a vyzerá takto:

Zaujímavé zdroje (cudzie, nie moje):

• Interaktívne kreslítko Bobrovnikov, Mark, Jared Tianyi Chai, and Ivo D. Dinov. “Interactive visualization and computation of 2D and 3D probability distributions.” SN computer science 3.4 (2022): 327.
• V GeoGebre Peter Sassman

7.4 Cvičenia

Cvičenie 7.1 Zostrojte združenú pravdepodobnostnú funkciu pre \(X,Y\) tak, aby súčasne platilo:

• \(\text{E}[X] = 2,\)
• \(\text{E}[Y] = 2,\)
• \(\text{Cov}[X,Y] = 0,\)
• \(P(X\geq Y) = 0.5.\)

Ak sa to nedá dokážte prečo.

Cvičenie 7.2 Majme náhodné premenné \(X,Y\) s nasledovnou združenou funkciou hustoty

\[\begin{equation*} f_{XY}(x,y)= \begin{cases} cy^2, & \text{ak}\ x \in [0,2], \ y \in [0,1],\\ 0, & \text{inak}. \end{cases} \end{equation*}\]

Vypočítajte

1. hodnotu konštanty \(c,\)
2. \(P(X \leq 1),\)
3. \(P(X+Y > 2),\)
4. \(P(X > Y),\)
5. \(P(X = 3Y),\)
6. \(\text{E}[Y],\)
7. \(\text{Cov}[X,Y].\)

Cvičenie 7.3 Nech \(X \sim N(0,1)\) a nech \(W\) má nasledovnú pravdepodobnostnú funkciu

\[\begin{equation*} p_W(w)= P(W=w) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \text{ak}\ w = 1 , \\ \frac{1}{2}, & \text{ak}\ w = -1 , \\ 0, & \text{inak}. \end{cases} \end{equation*}\]

Nech naviac \(X\) a \(W\) sú nezávislé náhodné premenné. Zadefinujme \(Y = X W.\) Ukážte, že \(\text{Cov}[X,Y]=0\) a že náhodné premenné \(X\) a \(Y\) nie sú nezávislé.

Cvičenie 7.4 Ukážte, že pre náhodné premenné, pre ktoré platí \(Y = aX + b,\) je \(\text{Cov}[X,Y] = 1\) alebo \(\text{Cov}[X,Y] = -1.\)

Cvičenie 7.5 Ukážte, že pre nezávislé náhodné premenné platí \(\text{E}[X \cdot Y] = \text{E}[X] \text{E}[Y].\) Ukážte tiež, že opačná implikácia neplatí.

Cvičenie 7.6 Ukážte, že pre nezávislé náhodné premenné platí \(\text{Var}[X + Y] = \text{Var}[X] \text{Var}[Y].\) Ukážte tiež, že opačná implikácia neplatí.

Cvičenie 7.7 Nech \(X\) je počet obedov objednaných na stôl počas obeda. Nech \(Y\) je počet nápojov objednaných na ten istý stôl počas obeda.

Nech \(p_{XY}\) je vyjadrená nasledovnou tabuľkou.

Pravdedpodobnostná funkcia
	Y=0	Y=1	Y=2	Y=3	Y=4
X=0	0	0.01	0.05	0	0
X=1	0.05	0.05	0.05	0	0
X=2	0.01	0.05	0.3	0.01	0
X=3	0	0	0.01	0.1	0
X=4	0	0	0	0.01	0.3

Vypočítajte

1. pravdepodobnosť, že na stôl sú objednané viac ako 2 obedy

2. pravdepodobnosť, že na stôl sú objednané viac ako 2 obedy a viac ako 2 nápoje

3. pravdepodobnosť, že na stôl je objednaných viac nápojov ako obedov

4. priemerný počet objednaných obedov

5. priemerný počet objednaných nápojov

6. koreláciu medzi počtom obedov a počtom nápojov objednaných na stôl

Cvičenie 7.8 Majme náhodné premenné \(X,Y\) s nasledovnou združenou pravdepodobnostnou funkciou

\[\begin{equation*} p_{XY}(x,y)= \begin{cases} c|x+y|, & \text{ak}\ x \in \{-1,0,1 \},\\ & \ y \in \{-2,0,2 \},\\ 0, & \text{inak}. \end{cases} \end{equation*}\]

Vypočítajte

1. hodnotu konštanty \(c,\)

2. \(P(X = 1),\)

3. \(P(Y = 2X),\)

4. \(P(Y < 1)\)

5. \(\text{E}[X],\text{E}[Y]\)

6. \(\text{Cov}[X,Y], \text{Corr}[X,Y].\)

Cvičenie 7.9 Majme náhodné premenné \(X,Y\) s nasledovnou združenou funkciou hustoty.

\[\begin{equation*} f_{XY}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{6}(xy+\frac{1}{2}), & \text{ak}\ 0 \leq x \leq 2, \ 0 \leq y \leq 2,\\ 0, & \text{inak}, \end{cases} \end{equation*}\]

Vypočítajte

1. kumulatívnu distribučnú funkciu náhodného vektora \((X,Y)\),

2. \(\text{E}[X],\)

3. \(\text{Var}[X],\)

4. \(\text{Cov}[X, Y],\)

5. \(\text{Corr}[X, Y],\)

6. \(P(X+Y \leq 1).\)

Cvičenie 7.10 Dokážte, že pre náhodné premenné \(X,Y,Z\) a \(a,b \in \mathbb{R}\) platí

\[\text{Cov}[aX+bY,Z] = a\text{Cov}[X,Z] + b\text{Cov}[Y,Z].\]

Cvičenie 7.11 Majme náhodné premenné \(X,Y\) s nasledovnou združenou pravdepodobnostnou funkciou

\[\begin{equation*} p_{XY}(x,y)= \begin{cases} c|x+y|, & \text{ak}\ x \in \{-2,-1,0,1,2 \},\\ & \ y \in \{-2,-1,0,1,2 \},\\ 0, & \text{inak}. \end{cases} \end{equation*}\]

Vypočítajte

• hodnotu konštanty \(c,\)

• \(P(X = 1),\)

• \(P(X = 3Y),\)

• \(\text{E}[X],\)

• \(\text{Corr}[X,Y].\)

Cvičenie 7.12 Zostrojte združenú pravdepodobnostnú funkciu pre \(X,Y\) tak, aby súčasne platilo:

• \(\mathcal{S}_X = \{1,2,3\}\)

• \(\mathcal{S}_Y = \{0,1,2\}\)

• \(\text{E}[XY] = \text{E}[X]\text{E}[Y]\)

• Existuje nejaké \(x \in \mathcal{S}_X\) a \(y \in \mathcal{S}_Y,\) že platí \(p_X(x)p_Y(y) > p_{XY}(x,y)\).

Cvičenie 7.13 Majme náhodné premenné \(X,Y\) s nasledovnou združenou funkciou hustoty

\[\begin{equation*} f_{XY}(x,y)= \begin{cases} c(x^2+y), & \text{ak}\ 0 \leq y \leq 1-x^2,\\ 0, & \text{inak}. \end{cases} \end{equation*}\]

Vypočítajte

1. hodnotu konštanty \(c,\)
2. \(P(0 \leq X \leq \frac{1}{2}),\)
3. \(P(Y \leq X+1).\)

Cvičenie 7.14 Majme náhodné premenné \(X,Y\) s nasledovnou združenou funkciou hustoty

\[\begin{equation*} f_{XY}(x,y)= \begin{cases} \frac{15}{4}x^2, & \text{ak}\ 0 \leq y \leq 1-x^2,\\ 0, & \text{inak}. \end{cases} \end{equation*}\]

1. Určte hustotu náhodnej premennej \(X\).
2. Určte hustotu náhodnej premennej \(Y\).
3. Zistite, či \(X\) a \(Y\) sú nezávislé.

---

1. Tieto množiny \(B_1\) a \(B_2\) nemôžu byť hocijaké ale musia byť borelovské. O podrobnostiach sa učíme v kurze Teórie pravdepodobnosti.

2. Tieto transformácie nemôžu byť hocijaké ale musia byť borelovsky merateľné. O podrobnostiach sa učíme, neprekvapivo, v kurze Teórie pravdepodobnosti.