9 Centrálna limitná veta
Normálne rozdelenie hrá prekvapivo dôležitú úlohu v teórii pravdepodobnosti a v štatistike. Ukazuje sa, že aritmetický priemer z nezávislých, ale rovnako rozdelených náhodných premenných, pokiaľ je počítaný z dostatočne veľkého množstva premenných, sa správa ako normálne rozdelená náhodná premenná.
9.1 Konvergencia podľa distribúcie
V minulej kapitole sme si predstavili jeden zo spôsobov, ako sa môže postupnosť náhodných premenných blížiť k nejakej náhodnej premennej, konkrétne konvergenciu podľa pravdepodobnosti. Existuje aj iný spôsob. Niekedy chceme uvažovať situáciu, že pravdepodobnostné správnanie prvkov postupnosti náhodných premenných sa stále viacej a viacej podobá na pravdepodobnostné správanie akejsi limitnej náhodnej premennej.
Hovoríme, že postupnosť náhodných premenných
Platí
Dôkaz. Nakoľko platí
Preto platí
Ak aplikujeme operátor limity na tieto nerovnosti, spolu s využitím definície konvergencie podľa pravdepodobnosti dostávame
V bode spojitosti
9.2 Centrálna limitná veta
Majme postupnosť nezávislých a rovnako rozdelených náhodných premenných
kde
Alternatívnym zápisom je, že ak označíme
Dôkaz je nad rámec tohoto kurzu, a preto ho vynechávame.
Tu je ilustrácie pre rovnomerné rozdelenie. Ide o obrázky odhadov funkcie hustoty. Napriek veľkému množstvu simulácií nie sú úplne hladké, viacej o takýchto odhadoch hustôt sa naučíme na druhom kurze regresie.
Tu pre exponenciálne rozdelenie:
A tu pre binomické rozdelenie:
Toto má dôležité praktické dôsledky. My vôbec nemusíme vedieť, aké má nejaká náhodná pravdepodobnostné rozdelenie. Ale vieme, že priemer nezávislých náhodných premenných sa už bude správať systematicky(!). Toto je veľmi všeobecný výsledok. Na tomto poznatku je založených mnoho štatistických testov.
Príklad 9.1 Hádžeme férovou kockou 900 krát. Ideme aproximovať pravdepodobnosť, že uvidíme viacej ako 495 hláv. Každý hod mincou
Preto
Princíp výpočtu takýchto aproximácií je vždy rovnaký. Začneme s tým, čo chceme vypočítať a ekvivalentnými úpravami to prevedieme na formuláciu CLV.
Príklad 9.2 Majme nezávislé
Využili sme skutočnosť, že
9.3 Cvičenia
Cvičenie 9.1 Majme postupnosť nezávislých a rovnako rozdelených náhodných premenných
Aké veľké musí byť
Cvičenie 9.2 Výťah unesie 4tony nákladu. Majme 100 krabíc, každá s priemernou váhou 39kg a so smerodajnou odchýlkou 2kg. Aproximujte pravdepodobnosť, že výťah bude preťažený.
Cvičenie 9.3 Majme postupnosť nezávislých a rovnako rozdelených náhodných premenných
Aproximujte pomocou CLV hodnotu