Stochastické procesy

Kurz nadväzuje na predmet Teória pravdepodobnosti a poskytuje základ vybraných častí matematickej teórie stochastických procesov s aplikáciami v štatistike, financiách a poisťovníctve.

Osvojenie si týchto tém je dôležitou prípravou na pokročilejšie kurzy finančnej a poistnej matematiky.

Cvičenia sa zameriavajú najmä na porozumenie rôznym konceptom a vzťahom medzi nimi. Niekoľko úloh bude výpočtových s možnosťou použiť Váš obľúbený softvér (R).

Webstránka http://lukaslaffers.github.io/stoch bude obsahovať všetky relevantné informácie týkajúce sa tohoto kurzu.

Rozvrh

13 týždňov   (16. september – 10. december, týždne 38–50)

  • Streda 08:15 – 11:20 F236 – Prednáška/Cvičenie

Zoom (kalendárne týždne 42–43):

  • 15.10.2025 08:15 – 11:20
  • 22.10.2025 08:15 – 11:20

Prihlasovacie info:

Odporúčaná literatúra

Povinná
- [M] Mikosh, T.: Non-Life Insurance Mathematics: An Introduction with the Poisson Process. Springer, 2009.
- [R] Rosenthal, J. S.: A First Look at Rigorous Probability Theory. World Scientific, 2006.

Doplnková
- [ER] Evans, M. J., Rosenthal, J. S.: Probability and Statistics: The Science of Uncertainty. W. H. Freeman, 2003. - [K] Korn, R., Korn, E., Kroisandt, G.: Monte Carlo Methods and Models in Finance and Insurance. CRC Press, 2010.
- [JKB] Janková, K., Kilianová, S., Brunovský, P., Bokes, P.: Markovove reťazce a ich aplikácie. Epos, 2015.
- [B] Billingsley, P.: Probability and Measure. Wiley, 2008.

Osnova kurzu (referencie v zátvorkách)

  • Rýchly prehľad pravdepodobnosti [R: ch1–7]
  • Stochastické procesy – konštrukcia jednoduchého stochastického procesu [R: ch10]
  • Diskrétne Markovove reťazce – definícia, stavový priestor, príklady (matica kreditného skóre), rekurentné a tranzientné reťazce, ireducibilita, stacionárne rozdelenia a konvergencia, periodické reťazce, MCMC algoritmus (Metropolis-Hastings, Gibbs), príklad Google PageRank [R: ch8, K, ER: ch11]
  • Poissonov proces – Lundbergov model, Bernoulliho proces, limitná definícia, vlastnosti, homogénny a nehomogénny PP, alternatívne definície, paradox inšpekcie, rozdelenie medzičasov, usporiadané štatistiky, príklad dánskych požiarov [M: ch1–2]
  • Martingaly – podmienené očakávanie, martingal, sub/supermartingal, zastavovací čas, vetu o voliteľnom výbere, príklady, Waldova veta, veta o konvergencii martingalu, Upcrossing lemma, maximálna nerovnosť, centrálna limitná veta (bez dôkazu) [R: ch14]
  • Všeobecné stochastické procesy – Kolmogorovova veta o existencii, Markovove reťazce na všeobecnom stavovom priestore, stacionárne rozdelenia, kontinuálny čas, generátor, reverzibilita, Brownov pohyb – definícia, vlastnosti, existencia [R: ch15]

Cvičenia vychádzajú najmä z úloh na konci kapitol v [R].

Konzultačné hodiny

Podľa dohody. Ste srdečne vítaní!

Hodnotenie

  • 30 % – priebežné hodnotenie
  • 70 % – záverečná skúška